Trigonométrie Exemples

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

Étape 1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sec (θ) = \frac{hypoténuse}{adjacent}$

Étape 2

Déterminez le côté opposé du triangle du cercle unité. Le côté adjacent et l’hypoténuse étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Opposé = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Opposé = - \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Inversez $\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$ .

Opposé $= - \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

Opposé $= - \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Opposé $= - \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Opposé $= - \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

Opposé $= - \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

Opposé $= - \sqrt{2 - {(1)}^{2}}$

Étape 4.2.5

Évaluez l’exposant.

Opposé $= - \sqrt{2 - {(1)}^{2}}$

Étape 4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

Opposé $= - \sqrt{2 - 1 \cdot 1}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

Opposé $= - \sqrt{2 - 1}$

Étape 4.5

Soustrayez $1$ de $2$ .

Opposé $= - \sqrt{1}$

Étape 4.6

Toute racine de $1$ est $1$ .

Opposé $= - 1 \cdot 1$

Étape 4.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

Opposé $= - 1$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez la valeur de $\sin (θ)$ .

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Étape 5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (θ) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 5.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.3.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\cos (θ)$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.3.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.3.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{- 1}{1}$

Étape 7.3

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (θ) = - 1$

Étape 8

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{1}{- 1}$

Étape 8.3

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\cot (θ) = - 1$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\csc (θ)$ .

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Étape 9.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$\csc (θ) = - 1 \cdot \sqrt{2}$

Étape 9.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{2}$ comme $- \sqrt{2}$ .

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan (θ) = - 1$

$\cot (θ) = - 1$

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$