Trigonométrie Exemples

$\sin (3 x) = (\sin (x)) (4 \cos^{2} (x) - 1)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$(\sin (x)) (4 \cos^{2} (x) - 1)$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\sin (x) (4 (1 - \sin^{2} (x)) - 1)$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 1)$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

$\sin (x) (4 - 4 \sin^{2} (x) - 1)$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \cdot 4 + \sin (x) (- 4 \sin^{2} (x)) + \sin (x) \cdot - 1$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $\sin (x)$ .

$4 \cdot \sin (x) + \sin (x) (- 4 {\sin (x)}^{2}) + \sin (x) \cdot - 1$

Étape 6.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par ${\sin (x)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.2.1

Déplacez ${\sin (x)}^{2}$ .

$4 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} \sin (x) \cdot - 4 + \sin (x) \cdot - 1$

Étape 6.1.2.2

Multipliez ${\sin (x)}^{2}$ par $\sin (x)$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{1} \cdot - 4 + \sin (x) \cdot - 1$

Étape 6.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin (x) + {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 4 + \sin (x) \cdot - 1$

Étape 6.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 \sin (x) + {\sin (x)}^{3} \cdot - 4 + \sin (x) \cdot - 1$

Étape 6.1.3

Déplacez $- 4$ à gauche de ${\sin (x)}^{3}$ .

$4 \sin (x) - 4 \cdot {\sin (x)}^{3} + \sin (x) \cdot - 1$

Étape 6.1.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) - 4 {\sin (x)}^{3} - 1 \cdot \sin (x)$

Étape 6.1.5

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$4 \sin (x) - 4 {\sin (x)}^{3} - \sin (x)$

Étape 6.2

Soustrayez $\sin (x)$ de $4 \sin (x)$ .

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)$

Étape 7

Appliquez l’identité d’angle triple du sinus.

$\sin (3 x)$

Étape 8

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin (3 x) = (\sin (x)) (4 \cos^{2} (x) - 1)$ est une identité