Trigonométrie Exemples

$\tan (θ) = - \frac{3}{5}$ , $\cos (θ) > 0$

Étape 1

The cosine function is positive in the first and fourth quadrants. The tangent function is negative in the second and fourth quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the fourth quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

La solution se trouve dans le quatrième quadrant.

Étape 2

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\tan (θ) = \frac{opposé}{adjacent}$

Étape 3

Déterminez l’hypoténuse du triangle du cercle unité. Les côtés opposé et adjacent étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Hypoténuse = \sqrt{{opposé}^{2} + {adjacent}^{2}}$

Étape 4

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Hypoténuse = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez à l’intérieur du radical.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{9 + {(5)}^{2}}$

Étape 5.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{9 + 25}$

Étape 5.3

Additionnez $9$ et $25$ .

Hypoténuse $= \sqrt{34}$

Étape 6

Déterminez la valeur du sinus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (θ) = \frac{- 3}{\sqrt{34}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\sin (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (θ) = - \frac{3}{\sqrt{34}}$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})$

Étape 6.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 6.3.3.2

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 6.3.3.3

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 6.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Étape 6.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{34}}^{2}$ comme $34$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{34}$ comme $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

Étape 6.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

Étape 7

Déterminez la valeur du cosinus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{5}{\sqrt{34}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\cos (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\cos (θ) = \frac{5}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

Étape 7.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 7.3.2.2

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 7.3.2.3

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 7.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Étape 7.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{34}}^{2}$ comme $34$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{34}$ comme $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}$

Étape 7.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la cotangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{5}{- 3}$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (θ) = - \frac{5}{3}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la sécante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{34}}{5}$

Étape 10

Déterminez la valeur de la cosécante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 10.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{34}}{- 3}$

Étape 10.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{34}}{3}$

Étape 11

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}$

$\tan (θ) = - \frac{3}{5}$

$\cot (θ) = - \frac{5}{3}$

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{34}}{5}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{34}}{3}$