Trigonométrie Exemples

$(- \frac{5}{9}, \frac{2 \sqrt{14}}{9})$

Étape 1

Pour déterminer le $\csc (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(- \frac{5}{9}, \frac{2 \sqrt{14}}{9})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(- \frac{5}{9}, 0)$ et $(- \frac{5}{9}, \frac{2 \sqrt{14}}{9})$ .

Opposé : $\frac{2 \sqrt{14}}{9}$

Adjacent : $- \frac{5}{9}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{9}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{9})}^{2} + {(\frac{2 \sqrt{14}}{9})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{9}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{9^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{14}}{9})}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 \frac{5^{2}}{9^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{14}}{9})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{9^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{5^{2}}{9^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{14}}{9})}^{2}}$

Étape 2.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{9^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{14}}{9})}^{2}}$

Étape 2.5

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{81} + {(\frac{2 \sqrt{14}}{9})}^{2}}$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{14}}{9}$ .

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{{(2 \sqrt{14})}^{2}}{9^{2}}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{14}$ .

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{2^{2} {\sqrt{14}}^{2}}{9^{2}}}$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 {\sqrt{14}}^{2}}{9^{2}}}$

Étape 2.7.2

Réécrivez ${\sqrt{14}}^{2}$ comme $14$ .

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Étape 2.7.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{14}$ comme $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9^{2}}}$

Étape 2.7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9^{2}}}$

Étape 2.7.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}{9^{2}}}$

Étape 2.7.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}{9^{2}}}$

Étape 2.7.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 \cdot 14^{1}}{9^{2}}}$

Étape 2.7.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 \cdot 14}{9^{2}}}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 \cdot 14}{81}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $4$ par $14$ .

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{56}{81}}$

Étape 2.8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{25 + 56}{81}}$

Étape 2.8.4

Additionnez $25$ et $56$ .

$\sqrt{\frac{81}{81}}$

Étape 2.8.5

Divisez $81$ par $81$ .

$\sqrt{1}$

Étape 2.8.6

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$

Étape 3

$\csc (θ) = \frac{Hypoténuse}{Opposé}$ donc $\csc (θ) = \frac{1}{\frac{2 \sqrt{14}}{9}}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{14}}{9}}$

Étape 4

Simplifiez $\csc (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (θ) = 1 (\frac{9}{2 \sqrt{14}})$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{9}{2 \sqrt{14}}$ par $1$ .

$\csc (θ) = \frac{9}{2 \sqrt{14}}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{9}{2 \sqrt{14}}$ par $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\csc (θ) = \frac{9}{2 \sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$

Étape 4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{9}{2 \sqrt{14}}$ par $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 \sqrt{14} \sqrt{14}}$

Étape 4.4.2

Déplacez $\sqrt{14}$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Étape 4.4.3

Élevez $\sqrt{14}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Étape 4.4.4

Élevez $\sqrt{14}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Étape 4.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 {\sqrt{14}}^{1 + 1}}$

Étape 4.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 {\sqrt{14}}^{2}}$

Étape 4.4.7

Réécrivez ${\sqrt{14}}^{2}$ comme $14$ .

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Étape 4.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{14}$ comme $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 \cdot 14}$

Étape 4.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 \cdot 14}$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $14$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{28}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{28} \approx 1.20267558$