Trigonométrie Exemples

$16 \sec^{2} (θ) - 25 = 0$

Étape 1

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$16 \sec^{2} (θ) = 25$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $16 \sec^{2} (θ) = 25$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $16 \sec^{2} (θ) = 25$ par $16$ .

$\frac{16 \sec^{2} (θ)}{16} = \frac{25}{16}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 \sec^{2} (θ)}{16} = \frac{25}{16}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\sec^{2} (θ)$ par $1$ .

$\sec^{2} (θ) = \frac{25}{16}$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{\frac{25}{16}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{25}{16}}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{25}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{16}}$

Étape 4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sec (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{16}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sec (θ) = \pm \frac{5}{4}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sec (θ) = \frac{5}{4}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sec (θ) = - \frac{5}{4}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sec (θ) = \frac{5}{4}, - \frac{5}{4}$

Étape 6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\sec (θ) = \frac{5}{4}$

$\sec (θ) = - \frac{5}{4}$

Étape 7

Résolvez $θ$ dans $\sec (θ) = \frac{5}{4}$ .

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Étape 7.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la sécante.

$θ = arcsec (\frac{5}{4})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Évaluez $arcsec (\frac{5}{4})$ .

$θ = 36.86989764$

Étape 7.3

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 360 - 36.86989764$

Étape 7.4

Soustrayez $36.86989764$ de $360$ .

$θ = 323.13010235$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\sec (θ)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 7.6

La période de la fonction $\sec (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 36.86989764 + 360 n, 323.13010235 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Résolvez $θ$ dans $\sec (θ) = - \frac{5}{4}$ .

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Étape 8.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la sécante.

$θ = arcsec (- \frac{5}{4})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

Évaluez $arcsec (- \frac{5}{4})$ .

$θ = 143.13010235$

Étape 8.3

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 360 - 143.13010235$

Étape 8.4

Soustrayez $143.13010235$ de $360$ .

$θ = 216.86989764$

Étape 8.5

Déterminez la période de $\sec (θ)$ .

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Étape 8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 8.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 8.6

La période de la fonction $\sec (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 143.13010235 + 360 n, 216.86989764 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Indiquez toutes les solutions.

$θ = 36.86989764 + 360 n, 323.13010235 + 360 n, 143.13010235 + 360 n, 216.86989764 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les solutions.

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Étape 10.1

Consolidez $36.86989764 + 360 n$ et $216.86989764 + 360 n$ en $36.86989764 + 180 n$ .

$θ = 36.86989764 + 180 n, 323.13010235 + 360 n, 143.13010235 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.2

Consolidez $323.13010235 + 360 n$ et $143.13010235 + 360 n$ en $143.13010235 + 180 n$ .

$θ = 36.86989764 + 180 n, 143.13010235 + 180 n$ , pour tout entier $n$