Trigonométrie Exemples

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$3 (- \cos (0) + i \sin (π))$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 (- 1 \cdot 1 + i \sin (π))$

Étape 1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 (- 1 + i \sin (π))$

Étape 1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$3 (- 1 + i \sin (0))$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$3 (- 1 + i \cdot 0)$

Étape 1.6

Multipliez $i$ par $0$ .

$3 (- 1 + 0)$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$3 \cdot - 1$

Étape 2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 3$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 3)}^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 9}$

Étape 6.3

Additionnez $0$ et $9$ .

$| z | = \sqrt{9}$

Étape 6.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2}}$

Étape 6.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 3$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 3})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{0}{- 3}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $π$ .

$θ = π$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = π$ et $| z | = 3$ .

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$