Trigonométrie Exemples

$\tan^{2} (θ) + 6 \tan (θ) + 8 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \tan (θ)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\tan (θ)$ par $u$ .

$u^{2} + 6 u + 8 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} + 6 u + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $6$ .

$2, 4$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u + 2) (u + 4) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (θ)$ .

$(\tan (θ) + 2) (\tan (θ) + 4) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (θ) + 2 = 0$

$\tan (θ) + 4 = 0$

Étape 3

Définissez $\tan (θ) + 2$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 3.1

Définissez $\tan (θ) + 2$ égal à $0$ .

$\tan (θ) + 2 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\tan (θ) + 2 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (θ) = - 2$

Étape 3.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (- 2)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Évaluez $\arctan (- 2)$ .

$θ = - 63.43494882$

Étape 3.2.4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = - 63.43494882 - 180$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.2.5.1

Ajoutez $360 °$ à $- 63.43494882 - 180 °$ .

$θ = - 63.43494882 - 180 ° + 360 °$

Étape 3.2.5.2

L’angle résultant de $116.56505117 °$ est positif et coterminal avec $- 63.43494882 - 180$ .

$θ = 116.56505117 °$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 3.2.7

Ajoutez $180$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.2.7.1

Ajoutez $180$ à $- 63.43494882$ pour déterminer l’angle positif.

$- 63.43494882 + 180$

Étape 3.2.7.2

Soustrayez $63.43494882$ de $180$ .

$116.56505117$

Étape 3.2.7.3

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = 116.56505117$

Étape 3.2.8

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\tan (θ) + 4$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 4.1

Définissez $\tan (θ) + 4$ égal à $0$ .

$\tan (θ) + 4 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\tan (θ) + 4 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (θ) = - 4$

Étape 4.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (- 4)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Évaluez $\arctan (- 4)$ .

$θ = - 75.96375653$

Étape 4.2.4

$θ = - 75.96375653 - 180$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 4.2.5.1

Ajoutez $360 °$ à $- 75.96375653 - 180 °$ .

$θ = - 75.96375653 - 180 ° + 360 °$

Étape 4.2.5.2

L’angle résultant de $104.03624346 °$ est positif et coterminal avec $- 75.96375653 - 180$ .

$θ = 104.03624346 °$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 4.2.7

Ajoutez $180$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 4.2.7.1

Ajoutez $180$ à $- 75.96375653$ pour déterminer l’angle positif.

$- 75.96375653 + 180$

Étape 4.2.7.2

Soustrayez $75.96375653$ de $180$ .

$104.03624346$

Étape 4.2.7.3

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = 104.03624346$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 104.03624346 + 180 n, 104.03624346 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\tan (θ) + 2) (\tan (θ) + 4) = 0$ vraie.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 104.03624346 + 180 n, 104.03624346 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez $104.03624346 + 180 n$ et $104.03624346 + 180 n$ en $104.03624346 + 180 n$ .

$θ = 116.56505117 + 180 n, 104.03624346 + 180 n$ , pour tout entier $n$