Trigonométrie Exemples

$\frac{\csc^{2} (θ)}{\csc^{2} (θ) - 1} = \sec^{2} (θ)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\csc^{2} (θ)}{\csc^{2} (θ) - 1}$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\csc^{2} (θ)}{\cot^{2} (θ)}$

Étape 3

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 3.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (θ)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2}}{\cot^{2} (θ)}$

Étape 3.2

Écrivez $\cot (θ)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{{(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2}}{{(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}}{{(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}}$

Étape 3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}}{\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Étape 4.2

Associez.

$\frac{1^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de ${\sin (θ)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Étape 4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ comme $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\csc^{2} (θ)}{\csc^{2} (θ) - 1} = \sec^{2} (θ)$ est une identité