Trigonométrie Exemples

$\cos (x) + \sin (x) \tan (x)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (x) + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 1.2

Multipliez $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 1.2.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 1.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 1.2.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Étape 1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Étape 1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.2

Séparez les fractions.

$\cos (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)$

Étape 2.4

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\cos (x) + \sin (x) \tan (x)$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = \cos (x)$ et $b = \sin (x) \tan (x)$ .

$| z | = \sqrt{\sin (x) \tan^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$| z | = \sqrt{\sin (x) {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + \cos^{2} (x)}$

Étape 6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$| z | = \sqrt{\sin (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) + \cos^{2} (x)}$

Étape 6.3

Multipliez $\sin (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

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Étape 6.3.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}$

Étape 6.3.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}$

Étape 6.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| z | = \sqrt{\frac{{\sin (x)}^{1 + 2}}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}$

Étape 6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1

Factorisez $\sin^{2} (x)$ à partir de $\sin^{3} (x)$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}$

Étape 6.4.2

Multipliez par $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \cos^{2} (x)}$

Étape 6.4.3

Séparez les fractions.

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}$

Étape 6.4.4

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ à $\tan^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Étape 6.4.5

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin (x) \tan^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{\sin (x) \tan (x)}{\cos (x)})$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = \arctan (\frac{\sin (x) \tan (x)}{\cos (x)})$ et $| z | = \sqrt{\sin (x) \tan^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ .

$\sqrt{\sin (x) \tan^{2} (x) + \cos^{2} (x)} (\cos (\arctan (\frac{\sin (x) \tan (x)}{\cos (x)})) + i \sin (\arctan (\frac{\sin (x) \tan (x)}{\cos (x)})))$