Trigonométrie Exemples

$- \frac{1}{1 + i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{1 + 1 i}$ par le conjugué de $1 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$- (\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i})$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$- \frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2

Multipliez $1 - i$ par $1$ .

$- \frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(1 + 1 i) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 1 i$ et $1 i$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{1 - i}{1 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1 - i}{2}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{1 - i}{2}$ en deux fractions.

$- (\frac{1}{2} + \frac{- i}{2})$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{2} - - \frac{i}{2}$

Étape 6

Multipliez $- - \frac{i}{2}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 \frac{i}{2}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{i}{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

Étape 7

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 8

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 9

Remplacez les valeurs réelles de $a = - \frac{1}{2}$ et $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 10

Déterminez $| z |$ .

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Étape 10.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 10.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 10.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 10.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 10.4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 10.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Étape 10.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.5.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Étape 10.5.2

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 10.5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Étape 10.5.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Étape 10.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Étape 10.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2}{4}}$

Étape 10.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 10.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Étape 10.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 10.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 10.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 10.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 10.8

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 10.9

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 10.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.10.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 10.10.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 10.10.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 10.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 10.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 10.10.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 10.10.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.10.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.10.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.10.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.10.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.10.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 10.10.6.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 11

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}})$

Étape 12

Comme la tangente inverse de $\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 13

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{3 π}{4}$ et $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))}$