Trigonométrie Exemples

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)} = 2 \sec^{2} (t)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)}$ .

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)}$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{1 - \sin (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \sin (t)) \cos^{2} (t)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$ par $\frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)}$ .

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))} + \frac{1}{1 - \sin (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{1 - \sin (t)}$ par $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))} + \frac{\cos^{2} (t)}{(1 - \sin (t)) \cos^{2} (t)}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \sin (t)) \cos^{2} (t)$ .

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))} + \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Développez $(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (1 - \sin (t)) - \sin (t) (1 - \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) (1 - \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $- \sin (t)$ par $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.2.1.4

Multipliez $- \sin (t) (- \sin (t))$ .

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Étape 2.5.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + 1 \sin (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.2.1.4.2

Multipliez $\sin (t)$ par $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.2.1.4.3

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.2.1.4.4

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.2.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + {\sin (t)}^{1 + 1} + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.2.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $\sin (t)$ de $- \sin (t)$ .

$\frac{1 - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.3

Réécrivez $1 - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)$ en forme factorisée.

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Étape 2.5.3.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 - 2 \sin (t) + 1}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 - 2 \sin (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 \sin (t)$ .

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Étape 2.5.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1) - 2 \sin (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sin (t)$ .

$\frac{2 (1) + 2 (- \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.5.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- \sin (t))$ .

$\frac{2 (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun de $1 - \sin (t)$ .

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Étape 2.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\cos^{2} (t)}$

Étape 3

Réécrivez $\frac{2}{\cos^{2} (t)}$ comme $2 \sec^{2} (t)$ .

$2 \sec^{2} (t)$

Étape 4

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)} = 2 \sec^{2} (t)$ est une identité