Trigonométrie Exemples

\frac{1 + cos (2 y)}{sin (2 y)}

$\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où

| z |

$| z |$ est le module et

θ

$θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où

z = a + b i

$z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de

a = \frac{1 + cos (2 y)}{sin (2 y)}

$a = \frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ et

b = 0

$b = 0$ .

| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 + cos (2 y)}{sin (2 y)})}^{2}}

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

Étape 4

Déterminez

| z |

$| z |$ .

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Étape 4.1

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 + cos (2 y)}{sin (2 y)})}^{2}}

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à

\frac{1 + cos (2 y)}{sin (2 y)}

$\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ .

| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + cos (2 y))}^{2}}{{sin}^{2} (2 y)}}

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y)}}$

Étape 4.3

Multipliez par

1

$1$ .

| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + cos (2 y))}^{2}}{{sin}^{2} (2 y) \cdot 1}}

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y) \cdot 1}}$

Étape 4.4

Séparez les fractions.

| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{{sin}^{2} (2 y)}}

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 y)}}$

Étape 4.5

Convertissez de

$\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ à

$\csc^{2} (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Divisez

${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ par

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(1 + \cos (2 y))}^{2} \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.6.2

Réécrivez

${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ comme

$(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.7

Développez

$(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 + \cos (2 y)) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.8.1.1

Multipliez

$1$ par

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.8.1.2

Multipliez

$\cos (2 y)$ par

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.8.1.3

Multipliez

$\cos (2 y)$ par

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.8.1.4

Multipliez

$\cos (2 y) \cos (2 y)$ .

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Étape 4.8.1.4.1

Élevez

$\cos (2 y)$ à la puissance

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.8.1.4.2

Élevez

$\cos (2 y)$ à la puissance

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.8.1.4.3

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + {\cos (2 y)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.8.1.4.4

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.8.2

Additionnez

$\cos (2 y)$ et

$\cos (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 2 \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.9

Appliquez la propriété distributive.

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.10

Simplifiez

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Étape 4.10.1

Multipliez

$\csc^{2} (2 y)$ par

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

Étape 4.10.2

Réécrivez

$\csc (2 y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) {(\frac{1}{\sin (2 y)})}^{2}}$

Étape 4.10.3

Appliquez la règle de produit à

$\frac{1}{\sin (2 y)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 y)})}$

Étape 4.10.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1}{\sin^{2} (2 y)})}$

Étape 4.10.5

Associez

$\cos^{2} (2 y)$ et

$\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}}$

Étape 4.11

Convertissez de

$\frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}$ à

$\cot^{2} (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Étape 4.12

Additionnez

$0$ et

$\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Étape 4.13

Réécrivez

$\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ en forme factorisée.

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Étape 4.13.1

Réécrivez le point milieu.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + 0 + \cot^{2} (2 y)}$

Étape 4.13.2

Réorganisez les termes.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Étape 4.13.3

Factorisez les trois premiers termes selon la règle du carré parfait.

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2} + 0}$

Étape 4.13.4

Réécrivez

${(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}$ comme

$(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ .

$| z | = \sqrt{(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

Étape 4.13.5

Développez

$(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.13.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

Étape 4.13.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

Étape 4.13.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Étape 4.13.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.13.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.13.6.1.1

Multipliez

$\csc (2 y) \csc (2 y)$ .

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Étape 4.13.6.1.1.1

Élevez

$\csc (2 y)$ à la puissance

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Étape 4.13.6.1.1.2

Élevez

$\csc (2 y)$ à la puissance

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Étape 4.13.6.1.1.3

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| z | = \sqrt{{\csc (2 y)}^{1 + 1} + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Étape 4.13.6.1.1.4

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Étape 4.13.6.1.2

Multipliez

$\cot (2 y) \cot (2 y)$ .

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Étape 4.13.6.1.2.1

Élevez

$\cot (2 y)$ à la puissance

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Étape 4.13.6.1.2.2

Élevez

$\cot (2 y)$ à la puissance

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Étape 4.13.6.1.2.3

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + {\cot (2 y)}^{1 + 1} + 0}$

Étape 4.13.6.1.2.4

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Étape 4.13.6.2

Réorganisez les facteurs de

$\csc (2 y) \cot (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Étape 4.13.6.3

Additionnez

$\cot (2 y) \csc (2 y)$ et

$\cot (2 y) \csc (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Étape 4.13.7

Additionnez

$\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ et

$0$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Étape 4.13.8

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.13.8.1

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 \cot (2 y) \csc (2 y) = 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y)$

Étape 4.13.8.2

Réécrivez le polynôme.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Étape 4.13.8.3

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où

$a = \csc (2 y)$ et

$b = \cot (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}}$

Étape 4.14

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$

Étape 6

Remplacez les valeurs de

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$ et

$| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$ .

$\csc (2 y) + \cot (2 y) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})))$