Trigonométrie Exemples

$(\frac{\sqrt{10}}{10}, - \frac{3 \sqrt{10}}{10})$

Étape 1

Pour déterminer le $\csc (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{\sqrt{10}}{10}, - \frac{3 \sqrt{10}}{10})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{10}}{10}, 0)$ et $(\frac{\sqrt{10}}{10}, - \frac{3 \sqrt{10}}{10})$ .

Opposé : $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Adjacent : $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{10^{1}}{10^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{10}{10^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{10}{100} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $10$ et $100$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$\sqrt{\frac{10 (1)}{100} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $10$ à partir de $100$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- 1)}^{2} \frac{{(3 \sqrt{10})}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 2.5.3

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{10}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + 1 \frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 2.6.2

Multipliez $\frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 2.7.2

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 2.7.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 2.7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Étape 2.7.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 2.7.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 2.7.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{1}}{10^{2}}}$

Étape 2.7.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10}{10^{2}}}$

Étape 2.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.8.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10}{100}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $9$ par $10$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{90}{100}}$

Étape 2.8.3

Annulez le facteur commun à $90$ et $100$ .

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Étape 2.8.3.1

Factorisez $10$ à partir de $90$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 (9)}{100}}$

Étape 2.8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.3.2.1

Factorisez $10$ à partir de $100$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10}}$

Étape 2.8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10}}$

Étape 2.8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9}{10}}$

Étape 2.8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1 + 9}{10}}$

Étape 2.8.4.2

Additionnez $1$ et $9$ .

$\sqrt{\frac{10}{10}}$

Étape 2.8.4.3

Divisez $10$ par $10$ .

$\sqrt{1}$

Étape 2.8.4.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$

Étape 3

$\csc (θ) = \frac{Hypoténuse}{Opposé}$ donc $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{3 \sqrt{10}}{10}}$ .

$\frac{1}{- \frac{3 \sqrt{10}}{10}}$

Étape 4

Simplifiez $\csc (θ)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{3 \sqrt{10}}{10}}$

Étape 4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{3 \sqrt{10}}{10}}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (θ) = - (1 (\frac{10}{3 \sqrt{10}}))$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{10}{3 \sqrt{10}}$ par $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{10}{3 \sqrt{10}}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{10}{3 \sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{10}{3 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Étape 4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{10}{3 \sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{10}}{3 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 4.5.2

Déplacez $\sqrt{10}$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{10}}{3 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Étape 4.5.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{10}}{3 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Étape 4.5.4

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{10}}{3 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Étape 4.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{10}}{3 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{10}}{3 {\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 4.5.7

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 4.5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{10}}{3 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{10}}{3 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{10}}{3 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{10}}{3 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{10}}{3 \cdot 10}$

Étape 4.5.7.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{10}}{3 \cdot 10}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 4.6.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{10}}{3 \cdot 10}$

Étape 4.6.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3} \approx - 1.05409255$