Trigonométrie Exemples

$3 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

Étape 1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$3 {(u)}^{2} - (u) - 1 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 1$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.3

Additionnez $1$ et $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.3

Additionnez $1$ et $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Étape 5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.3

Additionnez $1$ et $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Étape 6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Étape 8

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Étape 9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ .

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Étape 10.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$ .

$x = 0.87507547$

Étape 10.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.87507547$

Étape 10.4

Résolvez $x$ .

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Étape 10.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.87507547$

Étape 10.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.87507547$

Étape 10.4.3

Soustrayez $0.87507547$ de $3.14159265$ .

$x = 2.26651717$

Étape 10.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.87507547 + 2 π n, 2.26651717 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ .

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Étape 11.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$ .

$x = - 0.44921499$

Étape 11.3

$x = (3.14159265) + 0.44921499$

Étape 11.4

Résolvez $x$ .

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Étape 11.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.44921499$

Étape 11.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.44921499$

Étape 11.4.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.44921499$ .

$x = 3.59080764$

Étape 11.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 11.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.44921499$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.44921499 + 2 π$

Étape 11.6.2

Soustrayez $0.44921499$ de $2 π$ .

$5.83397031$

Étape 11.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 5.83397031$

Étape 11.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3.59080764 + 2 π n, 5.83397031 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.87507547 + 2 π n, 2.26651717 + 2 π n, 3.59080764 + 2 π n, 5.83397031 + 2 π n$ , pour tout entier $n$