Trigonométrie Exemples

$\csc^{2} (θ) - 9 \csc (θ) + 20 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \csc (θ)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\csc (θ)$ par $u$ .

$u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} - 9 u + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 5, - 4$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 5) (u - 4) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (θ)$ .

$(\csc (θ) - 5) (\csc (θ) - 4) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\csc (θ) - 5 = 0$

$\csc (θ) - 4 = 0$

Étape 3

Définissez $\csc (θ) - 5$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 3.1

Définissez $\csc (θ) - 5$ égal à $0$ .

$\csc (θ) - 5 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\csc (θ) - 5 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$\csc (θ) = 5$

Étape 3.2.2

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la cosécante.

$θ = arccsc (5)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Évaluez $arccsc (5)$ .

$θ = 11.53695903$

Étape 3.2.4

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = 180 - 11.53695903$

Étape 3.2.5

Soustrayez $11.53695903$ de $180$ .

$θ = 168.46304096$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\csc (θ)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 3.2.7

La période de la fonction $\csc (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 11.53695903 + 360 n, 168.46304096 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\csc (θ) - 4$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 4.1

Définissez $\csc (θ) - 4$ égal à $0$ .

$\csc (θ) - 4 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\csc (θ) - 4 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$\csc (θ) = 4$

Étape 4.2.2

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la cosécante.

$θ = arccsc (4)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Évaluez $arccsc (4)$ .

$θ = 14.47751218$

Étape 4.2.4

$θ = 180 - 14.47751218$

Étape 4.2.5

Soustrayez $14.47751218$ de $180$ .

$θ = 165.52248781$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\csc (θ)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 4.2.7

La période de la fonction $\csc (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 14.47751218 + 360 n, 165.52248781 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\csc (θ) - 5) (\csc (θ) - 4) = 0$ vraie.

$θ = 11.53695903 + 360 n, 168.46304096 + 360 n, 14.47751218 + 360 n, 165.52248781 + 360 n$ , pour tout entier $n$