Trigonométrie Exemples

$\sqrt{3} - \tan (3 θ) = 0$

Étape 1

Soustrayez $\sqrt{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (3 θ) = - \sqrt{3}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- \tan (3 θ) = - \sqrt{3}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (3 θ) = - \sqrt{3}$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (3 θ)}{- 1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (3 θ)}{1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Étape 2.2.2

Divisez $\tan (3 θ)$ par $1$ .

$\tan (3 θ) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\tan (3 θ) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Étape 2.3.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\tan (3 θ) = \sqrt{3}$

Étape 3

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$3 θ = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$3 θ = \frac{π}{3}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{π}{3}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{π}{3}$ par $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$θ = \frac{π}{9}$

Étape 6

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$3 θ = π + \frac{π}{3}$

Étape 7

Résolvez $θ$ .

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 θ = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 7.1.2

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 θ = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 θ = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Étape 7.1.4

Additionnez $π \cdot 3$ et $π$ .

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Étape 7.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $3$ .

$3 θ = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Étape 7.1.4.2

Additionnez $3 \cdot π$ et $π$ .

$3 θ = \frac{4 \cdot π}{3}$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{4 \cdot π}{3}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{4 \cdot π}{3}$ par $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Multipliez $\frac{4 π}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Étape 8

Déterminez la période de $\tan (3 θ)$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 3 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{π}{3}$

Étape 9

La période de la fonction $\tan (3 θ)$ est $\frac{π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{3}$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les réponses.

$θ = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$