Trigonométrie Exemples

$(\frac{1}{5}, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Étape 1

Pour déterminer le $\csc (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{1}{5}, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{1}{5}, 0)$ et $(\frac{1}{5}, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$ .

Opposé : $- \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Adjacent : $\frac{1}{5}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{2}}$

Étape 2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + {(- \frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{2}}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 \sqrt{6})}^{2}}{5^{2}}}$

Étape 2.4.3

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{5^{2}}}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + 1 \frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{5^{2}}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $\frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{5^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{5^{2}}}$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 {\sqrt{6}}^{2}}{5^{2}}}$

Étape 2.6.2

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 2.6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Étape 2.6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Étape 2.6.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Étape 2.6.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Étape 2.6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6^{1}}{5^{2}}}$

Étape 2.6.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6}{5^{2}}}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6}{25}}$

Étape 2.7.2

Multipliez $4$ par $6$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{24}{25}}$

Étape 2.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1 + 24}{25}}$

Étape 2.7.4

Additionnez $1$ et $24$ .

$\sqrt{\frac{25}{25}}$

Étape 2.7.5

Divisez $25$ par $25$ .

$\sqrt{1}$

Étape 2.7.6

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$

Étape 3

$\csc (θ) = \frac{Hypoténuse}{Opposé}$ donc $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{2 \sqrt{6}}{5}}$ .

$\frac{1}{- \frac{2 \sqrt{6}}{5}}$

Étape 4

Simplifiez $\csc (θ)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{2 \sqrt{6}}{5}}$

Étape 4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{2 \sqrt{6}}{5}}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (θ) = - (1 (\frac{5}{2 \sqrt{6}}))$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ par $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5}{2 \sqrt{6}}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{5}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Étape 4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 4.5.2

Déplacez $\sqrt{6}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 4.5.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 4.5.4

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 4.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 4.5.7

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 4.5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Étape 4.5.7.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $6$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12} \approx - 1.02062072$