Trigonométrie Exemples

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ , $\cos (θ) = - \frac{1}{3}$

Étape 1

Pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ , utilisez le fait que $\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}{- \frac{1}{3}}$

Étape 2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot (- 1 \cdot 3)$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 1 \cdot 3$ .

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = 2 \sqrt{2} \cdot - 1$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = - 2 \sqrt{2}$

Étape 3

Pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ , utilisez le fait que $\frac{1}{\tan (θ)}$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{1}{- 2 \sqrt{2}}$

Étape 4

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 4.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 4.3.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 4.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 4.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.3.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 5

Pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ , utilisez le fait que $\frac{1}{\cos (θ)}$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{1}{- \frac{1}{3}}$

Étape 6

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 6.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{3}}$

Étape 6.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = - \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Étape 6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = - (1 \cdot 3)$

Étape 6.3

Multipliez $- (1 \cdot 3)$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = - 1 \cdot 3$

Étape 6.3.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = - 3$

Étape 7

Pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ , utilisez le fait que $\frac{1}{\sin (θ)}$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 8

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = 1 (\frac{3}{2 \sqrt{2}})$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ par $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 8.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.4.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 8.4.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 8.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 8.4.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 8.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 8.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 8.4.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

Étape 9

Les fonctions trigonométriques trouvées sont les suivantes :

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\cos (θ) = - \frac{1}{3}$

$\tan (θ) = - 2 \sqrt{2}$

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sec (θ) = - 3$

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$