Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

Étape 1

Réécrivez $\tan (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\sec (t) - \cos (t)}$

Étape 2

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$

Étape 4

Multipliez $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ par $\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}$

Étape 5

Séparez les fractions.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 6

Convertissez de $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ à $\tan (t)$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)} \tan (t)$

Étape 7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (t)}$ à $\sec (t)$ .

$\frac{1}{\sec (t) - \cos (t)} \tan (t)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{\sec (t) - \cos (t)}$ et $\tan (t)$ .

$\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

Étape 9

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 10

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 11

Remplacez les valeurs réelles de $a = \frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)})}^{2}}$

Étape 12

Déterminez $| z |$ .

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Étape 12.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)})}^{2}}$

Étape 12.2

Réécrivez $\tan (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\sec (t) - \cos (t)})}^{2}}$

Étape 12.3

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)})}^{2}}$

Étape 12.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)})}^{2}}$

Étape 12.5

Multipliez $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ par $\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))})}^{2}}$

Étape 12.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 12.6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{\sin^{2} (t)}{{(\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)))}^{2}}}$

Étape 12.6.2

Appliquez la règle de produit à $\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) {(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}}$

Étape 12.7

Additionnez $0$ et $\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) {(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) {(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}}$

Étape 12.8

Réécrivez $\cos^{2} (t) {(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}$ comme ${(\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)))}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (t)}{{(\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)))}^{2}}}$

Étape 12.9

Réécrivez $\frac{\sin^{2} (t)}{{(\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)))}^{2}}$ comme ${(\frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))})}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))})}^{2}}$

Étape 12.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = \frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}$

Étape 12.11

Séparez les fractions.

$| z | = \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 12.12

Convertissez de $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ à $\tan (t)$ .

$| z | = \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)} \cdot \tan (t)$

Étape 12.13

Convertissez de $\frac{1}{\cos (t)}$ à $\sec (t)$ .

$| z | = \frac{1}{\sec (t) - \cos (t)} \cdot \tan (t)$

Étape 12.14

Associez $\frac{1}{\sec (t) - \cos (t)}$ et $\tan (t)$ .

$| z | = \frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

Étape 13

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})$

Étape 14

Remplacez les valeurs de $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})$ et $| z | = \frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$ .

$\frac{\tan (t)}{(\sec (t) - \cos (t)) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})))}$