Trigonométrie Exemples

$(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$

Étape 1

Pour déterminer le $\csc (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(5 \frac{1}{2}, 0)$ et $(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ .

Opposé : $- 2 \sqrt{15}$

Adjacent : $5 \frac{1}{2}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Convertissez $5 \frac{1}{2}$ en fraction irrégulière.

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Étape 2.1.1

Un nombre mixte est une addition de ses parties entière et fractionnaire.

$\sqrt{{(5 + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Additionnez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.4.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$\sqrt{{(\frac{10 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.2

Additionnez $10$ et $1$ .

$\sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{11}{2}$ .

$\sqrt{\frac{11^{2}}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{15}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2)}^{2} {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 2.2.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 2.3

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{1}}$

Étape 2.3.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15}$

Étape 2.4

Multipliez $4$ par $15$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 60}$

Étape 2.5

Pour écrire $60$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 60 \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 2.6

Associez $60$ et $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + \frac{60 \cdot 4}{4}}$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{121 + 60 \cdot 4}{4}}$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Multipliez $60$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{121 + 240}{4}}$

Étape 2.8.2

Additionnez $121$ et $240$ .

$\sqrt{\frac{361}{4}}$

Étape 2.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{361}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Réécrivez $361$ comme $19^{2}$ .

$\frac{\sqrt{19^{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 2.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{19}{\sqrt{4}}$

Étape 2.11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.11.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{19}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 2.11.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{19}{2}$

Étape 3

$\csc (θ) = \frac{Hypoténuse}{Opposé}$ donc $\csc (θ) = \frac{\frac{19}{2}}{- 2 \sqrt{15}}$ .

$\frac{\frac{19}{2}}{- 2 \sqrt{15}}$

Étape 4

Simplifiez $\csc (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot \frac{1}{- 2 \sqrt{15}}$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{1}{2 \sqrt{15}})$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- (\frac{1}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}))$

Étape 4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

Étape 4.4.2

Déplacez $\sqrt{15}$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Étape 4.4.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Étape 4.4.4

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Étape 4.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

Étape 4.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

Étape 4.4.7

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 4.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 4.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Étape 4.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $15$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{30})$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{19}{2} (- \frac{\sqrt{15}}{30})$ .

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Étape 4.6.1

Multipliez $\frac{19}{2}$ par $\frac{\sqrt{15}}{30}$ .

$\csc (θ) = - \frac{19 \sqrt{15}}{2 \cdot 30}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $30$ .

$\csc (θ) = - \frac{19 \sqrt{15}}{60}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\csc (θ) = - \frac{19 \sqrt{15}}{60} \approx - 1.22644472$