Trigonométrie Exemples

$\csc^{2} (θ) + 2 \csc (θ) - 24 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = \csc (θ)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\csc (θ)$ par $u$ .

$u^{2} + 2 u - 24 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} + 2 u - 24$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $2$ .

$- 4, 6$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u + 6) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (θ)$ .

$(\csc (θ) - 4) (\csc (θ) + 6) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\csc (θ) - 4 = 0$

$\csc (θ) + 6 = 0$

Étape 3

Définissez $\csc (θ) - 4$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez $\csc (θ) - 4$ égal à $0$ .

$\csc (θ) - 4 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\csc (θ) - 4 = 0$ pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$\csc (θ) = 4$

Étape 3.2.2

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la cosécante.

$θ = arccsc (4)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Évaluez $arccsc (4)$ .

$θ = 14.47751218$

Étape 3.2.4

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = 180 - 14.47751218$

Étape 3.2.5

Soustrayez $14.47751218$ de $180$ .

$θ = 165.52248781$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\csc (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 3.2.7

La période de la fonction $\csc (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 14.47751218 + 360 n, 165.52248781 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\csc (θ) + 6$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $\csc (θ) + 6$ égal à $0$ .

$\csc (θ) + 6 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\csc (θ) + 6 = 0$ pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$\csc (θ) = - 6$

Étape 4.2.2

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la cosécante.

$θ = arccsc (- 6)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Évaluez $arccsc (- 6)$ .

$θ = - 9.59406822$

Étape 4.2.4

La fonction cosécante est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $360$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 360 + 9.59406822 + 180$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Soustrayez $360 °$ de $360 + 9.59406822 + 180 °$ .

$θ = 360 + 9.59406822 + 180 ° - 360 °$

Étape 4.2.5.2

L’angle résultant de $189.59406822 °$ est positif, inférieur à $360 °$ et coterminal avec $360 + 9.59406822 + 180$ .

$θ = 189.59406822 °$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\csc (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 4.2.7

Ajoutez $360$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.1

Ajoutez $360$ à $- 9.59406822$ pour déterminer l’angle positif.

$- 9.59406822 + 360$

Étape 4.2.7.2

Soustrayez $9.59406822$ de $360$ .

$350.40593177$

Étape 4.2.7.3

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = 350.40593177$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\csc (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 189.59406822 + 360 n, 350.40593177 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\csc (θ) - 4) (\csc (θ) + 6) = 0$ vraie.

$θ = 14.47751218 + 360 n, 165.52248781 + 360 n, 189.59406822 + 360 n, 350.40593177 + 360 n$ , pour tout entier $n$