Trigonométrie Exemples

$x^{4} - y^{4} = (x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})$

Étape 1

Développez $(x - y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} - y^{4} = (x (x + y) - y (x + y)) (x^{2} + y^{2})$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} - y^{4} = (x \cdot x + x y - y (x + y)) (x^{2} + y^{2})$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} - y^{4} = (x \cdot x + x y - y x - y \cdot y) (x^{2} + y^{2})$

Étape 2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x y - y x - y \cdot y$ .

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Étape 2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x y$ et $- y x$ .

$x^{4} - y^{4} = (x \cdot x + x y - x y - y \cdot y) (x^{2} + y^{2})$

Étape 2.2

Soustrayez $x y$ de $x y$ .

$x^{4} - y^{4} = (x \cdot x + 0 - y \cdot y) (x^{2} + y^{2})$

Étape 2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$x^{4} - y^{4} = (x \cdot x - y \cdot y) (x^{2} + y^{2})$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{4} - y^{4} = (x^{2} - y \cdot y) (x^{2} + y^{2})$

Étape 3.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1

Déplacez $y$ .

$x^{4} - y^{4} = (x^{2} - (y \cdot y)) (x^{2} + y^{2})$

Étape 3.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x^{4} - y^{4} = (x^{2} - y^{2}) (x^{2} + y^{2})$

Étape 4

Développez $(x^{2} - y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} - y^{4} = x^{2} (x^{2} + y^{2}) - y^{2} (x^{2} + y^{2})$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} - y^{4} = x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} - y^{2} (x^{2} + y^{2})$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} - y^{4} = x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} y^{2}$

Étape 5

Associez les termes opposés dans $x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} y^{2}$ .

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x^{2} y^{2}$ et $- y^{2} x^{2}$ .

$x^{4} - y^{4} = x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} - x^{2} y^{2} - y^{2} y^{2}$

Étape 5.2

Soustrayez $x^{2} y^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$x^{4} - y^{4} = x^{2} x^{2} + 0 - y^{2} y^{2}$

Étape 5.3

Additionnez $x^{2} x^{2}$ et $0$ .

$x^{4} - y^{4} = x^{2} x^{2} - y^{2} y^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} - y^{4} = x^{2 + 2} - y^{2} y^{2}$

Étape 6.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} - y^{4} = x^{4} - y^{2} y^{2}$

Étape 6.2

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$x^{4} - y^{4} = x^{4} - (y^{2} y^{2})$

Étape 6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} - y^{4} = x^{4} - y^{2 + 2}$

Étape 6.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} - y^{4} = x^{4} - y^{4}$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$x^{4} - y^{4} = (x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})$ est une identité.