Trigonométrie Exemples

$3 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 1$

Étape 1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$3 {(u)}^{2} - (u) = 1$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 u^{2} - u - 1 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 1$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.3

Additionnez $1$ et $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.3

Additionnez $1$ et $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Étape 6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.1.3

Additionnez $1$ et $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Étape 7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Étape 10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ .

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Étape 11.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$ .

$x = 50.13813146$

Étape 11.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = 180 - 50.13813146$

Étape 11.4

Soustrayez $50.13813146$ de $180$ .

$x = 129.86186853$

Étape 11.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 11.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 11.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$x = 50.13813146 + 360 n, 129.86186853 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ .

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Étape 12.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$ .

$x = - 25.73812338$

Étape 12.3

$x = 180 + 25.73812338$

Étape 12.4

Additionnez $180$ et $25.73812338$ .

$x = 205.73812338$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 12.6

Ajoutez $360$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 12.6.1

Ajoutez $360$ à $- 25.73812338$ pour déterminer l’angle positif.

$- 25.73812338 + 360$

Étape 12.6.2

Soustrayez $25.73812338$ de $360$ .

$334.26187661$

Étape 12.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 334.26187661$

Étape 12.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$x = 205.73812338 + 360 n, 334.26187661 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Indiquez toutes les solutions.

$x = 50.13813146 + 360 n, 129.86186853 + 360 n, 205.73812338 + 360 n, 334.26187661 + 360 n$ , pour tout entier $n$