Trigonométrie Exemples

$(- \frac{1}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3})$

Étape 1

Pour déterminer le $\csc (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(- \frac{1}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(- \frac{1}{3}, 0)$ et $(- \frac{1}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ .

Opposé : $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Adjacent : $- \frac{1}{3}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Étape 2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Étape 2.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{{(2 \sqrt{2})}^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{2^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.7.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.7.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Étape 2.7.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Étape 2.7.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Étape 2.7.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2^{1}}{3^{2}}}$

Étape 2.7.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2}{3^{2}}}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2}{9}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{8}{9}}$

Étape 2.8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1 + 8}{9}}$

Étape 2.8.4

Additionnez $1$ et $8$ .

$\sqrt{\frac{9}{9}}$

Étape 2.8.5

Divisez $9$ par $9$ .

$\sqrt{1}$

Étape 2.8.6

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$

Étape 3

$\csc (θ) = \frac{Hypoténuse}{Opposé}$ donc $\csc (θ) = \frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 4

Simplifiez $\csc (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (θ) = 1 (\frac{3}{2 \sqrt{2}})$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ par $1$ .

$\csc (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.4.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 4.4.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 4.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 4.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.4.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} \approx 1.06066017$