Trigonométrie Exemples

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Comme $\cot (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\cot (- x)$ comme $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Étape 1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (- x) + \sin (- x)$

Étape 1.3

Comme $\cos (- x)$ est une fonction paire, réécrivez $\cos (- x)$ comme $\cos (x)$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \sin (- x)$

Étape 1.4

Multipliez $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Étape 1.4.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (- x)$

Étape 1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (- x)$

Étape 1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} + \sin (- x)$

Étape 1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \sin (- x)$

Étape 1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (- x)$

Étape 1.5

Comme $\sin (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\sin (- x)$ comme $- \sin (x)$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Étape 2.2

Séparez les fractions.

$- (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \sin (x)$

Étape 2.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$- (\frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) - \sin (x)$

Étape 2.4

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$- \cos (x) \cot (x) - \sin (x)$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - \cos (x) \cot (x)$ et $b = - 1 \sin (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sin (x))}^{2} + {(- \cos (x) \cot (x))}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- \sin (x))}^{2} + {(- \cos (x) \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la règle de produit à $- \sin (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \sin^{2} (x) + {(- \cos (x) \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1 \sin^{2} (x) + {(- \cos (x) \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.4

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \cos (x) \cot (x))}^{2}}$

Étape 6.5

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Étape 6.6

Multipliez $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 6.6.1

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Étape 6.6.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Étape 6.6.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Étape 6.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)})}^{2}}$

Étape 6.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Étape 6.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- 1)}^{2} {(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Étape 6.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- 1)}^{2} (\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)})}$

Étape 6.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.8.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + 1 (\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)})}$

Étape 6.8.2

Multipliez $\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 6.8.3

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

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Étape 6.8.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{{\cos (x)}^{2 \cdot 2}}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 6.8.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 6.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.9.1

Factorisez $\cos^{2} (x)$ à partir de $\cos^{4} (x)$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 6.9.2

Multipliez par $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cdot 1}}$

Étape 6.9.3

Séparez les fractions.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 6.9.4

Convertissez de $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ à $\cot^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \cot^{2} (x)}$

Étape 6.9.5

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cot^{2} (x)}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sin (x)}{- \cos (x) \cot (x)})$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = \arctan (\frac{- 1 \sin (x)}{- \cos (x) \cot (x)})$ et $| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cot^{2} (x)}$ .

$\sqrt{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cot^{2} (x)} (\cos (\arctan (\frac{- 1 \sin (x)}{- \cos (x) \cot (x)})) + i \sin (\arctan (\frac{- 1 \sin (x)}{- \cos (x) \cot (x)})))$