Trigonométrie Exemples

$1 + 2 \cot^{2} (θ) + \cot^{4} (θ) = \csc^{4} (θ)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$1 + 2 \cot^{2} (θ) + \cot^{4} (θ)$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$1^{2} + 2 \cot^{2} (θ) + \cot^{4} (θ)$

Étape 2.2

Réécrivez $\cot^{4} (θ)$ comme ${(\cot^{2} (θ))}^{2}$ .

$1^{2} + 2 \cot^{2} (θ) + {(\cot^{2} (θ))}^{2}$

Étape 2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 \cot^{2} (θ) = 2 \cdot 1 \cdot \cot^{2} (θ)$

Étape 2.4

Réécrivez le polynôme.

$1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \cot^{2} (θ) + {(\cot^{2} (θ))}^{2}$

Étape 2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = \cot^{2} (θ)$ .

${(1 + \cot^{2} (θ))}^{2}$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

${(\csc^{2} (θ))}^{2}$

Étape 4

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 4.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (θ)$ .

${({(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2})}^{2}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

${(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)})}^{2}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}$ .

$\frac{{(1^{2})}^{2}}{{(\sin^{2} (θ))}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez les exposants dans ${(1^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1^{2 \cdot 2}}{{({\sin (θ)}^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1^{4}}{{({\sin (θ)}^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{{({\sin (θ)}^{2})}^{2}}$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${({\sin (θ)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{\sin^{4} (θ)}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{1}{\sin^{4} (θ)}$ comme $\csc^{4} (θ)$ .

$\csc^{4} (θ)$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$1 + 2 \cot^{2} (θ) + \cot^{4} (θ) = \csc^{4} (θ)$ est une identité