Trigonométrie Exemples

$1 - \frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = 1$ et $b = - \frac{1 \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1 \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)})}^{2} + 1^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)})}^{2} + 1^{2}}$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)})}^{2} + 1^{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}) + 1^{2}}$

Étape 4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}) + 1^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 1^{2}}$

Étape 4.5

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

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Étape 4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{\cos (x)}^{2 \cdot 2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 1^{2}}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 1^{2}}$

Étape 4.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| z | = \sqrt{\frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 1}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1 \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}}{1})$

Étape 6

Remplacez les valeurs de $θ = \arctan (\frac{- \frac{1 \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}}{1})$ et $| z | = \sqrt{\frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 1}$ .

$\sqrt{\frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 1} (\cos (\arctan (\frac{- \frac{1 \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}}{1})) + i \sin (\arctan (\frac{- \frac{1 \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}}{1})))$