Trigonométrie Exemples

$\cot (θ) + \csc (θ) = \frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Écrivez $\tan (θ)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \tan (θ)}$

Étape 2.2

Écrivez $\tan (θ)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) (1 + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 3.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\sin (θ) (\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 3.2

Associez $\sin (θ)$ et $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} \sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 3.3.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1}}{\cos (θ)}}$

Étape 3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)}}$

Étape 3.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}}$

Étape 3.4

Associez $\sin (θ)$ et $\frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1)}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}}$

Étape 3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{{\sin (θ)}^{2}}$

Étape 3.6

Associez.

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1) \cos (θ)}{\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}}$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun à $\sin (θ)$ et ${\sin (θ)}^{2}$ .

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Étape 3.7.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin (θ) (\cos (θ) + 1) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}}$

Étape 3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.2.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}$ .

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\sin (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Étape 3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\sin (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Étape 3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\cos (θ) + 1) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + 1}{\sin (θ)}$

Étape 4

Regardez maintenant le côté gauche de l’équation.

$\cot (θ) + \csc (θ)$

Étape 5

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 5.1

Écrivez $\cot (θ)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \csc (θ)$

Étape 5.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (θ)$ .

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (θ) + 1}{\sin (θ)}$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cot (θ) + \csc (θ) = \frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$ est une identité