Trigonométrie Exemples

$\tan^{2} (θ) - 6 \tan (θ) + 5 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \tan (θ)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\tan (θ)$ par $u$ .

$u^{2} - 6 u + 5 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} - 6 u + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 5, - 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 5) (u - 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (θ)$ .

$(\tan (θ) - 5) (\tan (θ) - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (θ) - 5 = 0$

$\tan (θ) - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $\tan (θ) - 5$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 3.1

Définissez $\tan (θ) - 5$ égal à $0$ .

$\tan (θ) - 5 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\tan (θ) - 5 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (θ) = 5$

Étape 3.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (5)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Évaluez $\arctan (5)$ .

$θ = 78.69006752$

Étape 3.2.4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 180 + 78.69006752$

Étape 3.2.5

Additionnez $180$ et $78.69006752$ .

$θ = 258.69006752$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 3.2.7

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 78.69006752 + 180 n, 258.69006752 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\tan (θ) - 1$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 4.1

Définissez $\tan (θ) - 1$ égal à $0$ .

$\tan (θ) - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\tan (θ) - 1 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (θ) = 1$

Étape 4.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $45$ .

$θ = 45$

Étape 4.2.4

$θ = 180 + 45$

Étape 4.2.5

Additionnez $180$ et $45$ .

$θ = 225$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 4.2.7

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 45 + 180 n, 225 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\tan (θ) - 5) (\tan (θ) - 1) = 0$ vraie.

$θ = 78.69006752 + 180 n, 258.69006752 + 180 n, 45 + 180 n, 225 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez les réponses.

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Étape 6.1

Consolidez $78.69006752 + 180 n$ et $258.69006752 + 180 n$ en $78.69006752 + 180 n$ .

$θ = 78.69006752 + 180 n, 45 + 180 n, 225 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.2

Consolidez $45 + 180 n$ et $225 + 180 n$ en $45 + 180 n$ .

$θ = 78.69006752 + 180 n, 45 + 180 n$ , pour tout entier $n$