Trigonométrie Exemples

$\cos (t) (\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \tan (t)) = \frac{1}{\sin (t)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\cos (t) (\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \tan (t))$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (t) (\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 2.3

Multipliez $\cos (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ .

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Étape 2.3.1

Associez $\cos (t)$ et $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 2.3.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 2.3.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{1 - \sin^{2} (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (t)}^{2}}{\sin (t)} + \sin (t)$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (t)$ .

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\sin (t)} + \sin (t)$

Étape 4.2

Pour écrire $\sin (t)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\sin (t)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t)}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t)}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

$\frac{1}{\sin (t)}$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos (t) (\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \tan (t)) = \frac{1}{\sin (t)}$ est une identité