Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} = - 2 \cot^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)}$

Étape 2

Additionnez des fractions.

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{1 + \sec (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)}$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{1 - \sec (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{1 + \sec (x)}$ par $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1}{1 - \sec (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{1 - \sec (x)}$ par $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1 + \sec (x)}{(1 - \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \sec (x)) (1 + \sec (x))$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1 + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sec (x) + 1 + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 - \sec (x) + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Étape 3.2

Additionnez $- \sec (x)$ et $\sec (x)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Étape 3.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Développez $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{1 (1 - \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{2}{1 - \sec^{2} (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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Étape 5.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{- \sec^{2} (x) + 1}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

Étape 5.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{2}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

Étape 5.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2}{- \tan^{2} (x)}$

Étape 6

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 6.1

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{2}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 7.2

Multipliez $2 (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$ .

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 9

Associez.

$\frac{- (2 \cos^{2} (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

Étape 10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

Étape 11

Multipliez ${\sin (x)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 13

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$- 2 \cot^{2} (x)$

Étape 14

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 14.1

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$- 2 {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 14.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- 2 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Associez $- 2$ et $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 15.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 16

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} = - 2 \cot^{2} (x)$ est une identité