Trigonométrie Exemples

$\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} - 1$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = \frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$ et $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)})}^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + {(\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)})}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{{(2 + \tan^{2} (x))}^{2}}{{(\sec^{2} (x))}^{2}}}$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{{(2 + \tan^{2} (x))}^{2}}{{\sec (x)}^{2 \cdot 2}}}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{{(2 + \tan^{2} (x))}^{2}}{\sec^{4} (x)}}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}})$

Étape 6

Remplacez les valeurs de $θ = \arctan (\frac{- 1}{\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}})$ et $| z | = \sqrt{1 + \frac{{(2 + \tan^{2} (x))}^{2}}{\sec^{4} (x)}}$ .

$\sqrt{1 + \frac{{(2 + \tan^{2} (x))}^{2}}{\sec^{4} (x)}} (\cos (\arctan (\frac{- 1}{\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}})) + i \sin (\arctan (\frac{- 1}{\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}})))$