Trigonométrie Exemples

$\sin (x) + \cos (x) = 1$

Étape 1

Élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = {(1)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ comme $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = {(1)}^{2}$

Étape 2.2

Développez $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(1)}^{2}$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(1)}^{2}$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(1)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(1)}^{2}$

Étape 2.3.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(1)}^{2}$

Étape 2.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(1)}^{2}$

Étape 2.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(1)}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) = {(1)}^{2}$

Étape 2.3.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) = {(1)}^{2}$

Étape 2.3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} = {(1)}^{2}$

Étape 2.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(1)}^{2}$

Étape 2.3.2

Réorganisez les facteurs de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(1)}^{2}$

Étape 2.3.3

Additionnez $\cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(1)}^{2}$

Étape 2.4

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) = {(1)}^{2}$

Étape 2.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) = {(1)}^{2}$

Étape 2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = {(1)}^{2}$

Étape 2.6.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) = {(1)}^{2}$

Étape 2.6.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$1 + \sin (2 x) = {(1)}^{2}$

Étape 3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + \sin (2 x) = 1$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sin (2 x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (2 x) = 1 - 1$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\sin (2 x) = 0$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 x = 0$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 8

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - 0$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 x = π + 0$

Étape 9.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 x = π$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 10

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 10.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 10.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 11

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Vérifiez chaque solution en la remplaçant dans $\sin (x) + \cos (x) = 1$ et en résolvant.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, 2 π n$ , pour tout entier $n$