Trigonométrie Exemples

$\cos (θ) = \frac{5}{13}$ , $\frac{3 π}{2} < θ < 2 π$

Étape 1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\cos (θ) = \frac{adjacent}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté opposé du triangle du cercle unité. Le côté adjacent et l’hypoténuse étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Opposé = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Opposé = - \sqrt{{(13)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Inversez $\sqrt{{(13)}^{2} - {(5)}^{2}}$ .

Opposé $= - \sqrt{{(13)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

Opposé $= - \sqrt{169 - {(5)}^{2}}$

Étape 4.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

Opposé $= - \sqrt{169 - 1 \cdot 25}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $25$ .

Opposé $= - \sqrt{169 - 25}$

Étape 4.5

Soustrayez $25$ de $169$ .

Opposé $= - \sqrt{144}$

Étape 4.6

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

Opposé $= - \sqrt{12^{2}}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

Opposé $= - 1 \cdot 12$

Étape 4.8

Multipliez $- 1$ par $12$ .

Opposé $= - 12$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (θ) = \frac{- 12}{13}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (θ) = - \frac{12}{13}$

Étape 6

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 6.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{- 12}{5}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (θ) = - \frac{12}{5}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{5}{- 12}$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (θ) = - \frac{5}{12}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{13}{5}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{13}{- 12}$

Étape 9.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = - \frac{13}{12}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = - \frac{12}{13}$

$\cos (θ) = \frac{5}{13}$

$\tan (θ) = - \frac{12}{5}$

$\cot (θ) = - \frac{5}{12}$

$\sec (θ) = \frac{13}{5}$

$\csc (θ) = - \frac{13}{12}$