Trigonométrie Exemples

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$1^{2} - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \tan^{2} (x)$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sec^{2} (x) - 1$

Étape 5

Convertissez en sinus et cosinus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

Étape 5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Développez $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.1.2.1.2

Multipliez $- \sin (x)$ par $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.1.2.1.3

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.1.2.1.4

Multipliez $\sin (x) (- \sin (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1.4.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.1.2.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.1.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.1.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.1.2.2

Additionnez $- \sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

Étape 6.3

Additionnez $- {\sin (x)}^{2}$ et $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7

Écrivez $- \sin^{2} (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8

Additionnez des fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Pour écrire $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Étape 10

Regardez maintenant le côté gauche de l’équation.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 11

Convertissez en sinus et cosinus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Étape 11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Étape 12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Étape 13

Écrivez $- \sin^{2} (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1}$

Étape 14

Additionnez des fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Pour écrire $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 14.2

Multipliez $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 14.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 15

Simplifiez le numérateur.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Étape 16

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ est une identité