Trigonométrie Exemples

$\sin (2 A) = \frac{\sqrt{85}}{11}$

Étape 1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sin (2 A) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = - \sqrt{{(11)}^{2} - {(\sqrt{85})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Inversez $\sqrt{{(11)}^{2} - {(\sqrt{85})}^{2}}$ .

Adjacent $= - \sqrt{{(11)}^{2} - {(\sqrt{85})}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{121 - {(\sqrt{85})}^{2}}$

Étape 4.3

Réécrivez ${\sqrt{85}}^{2}$ comme $85$ .

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{85}$ comme $85^{\frac{1}{2}}$ .

Adjacent $= - \sqrt{121 - {(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adjacent $= - \sqrt{121 - 85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{121 - 85^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

Adjacent $= - \sqrt{121 - 85^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

Adjacent $= - \sqrt{121 - 85}$

Étape 4.3.5

Évaluez l’exposant.

Adjacent $= - \sqrt{121 - 1 \cdot 85}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $85$ .

Adjacent $= - \sqrt{121 - 85}$

Étape 4.5

Soustrayez $85$ de $121$ .

Adjacent $= - \sqrt{36}$

Étape 4.6

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

Adjacent $= - \sqrt{6^{2}}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

Adjacent $= - 1 \cdot 6$

Étape 4.8

Multipliez $- 1$ par $6$ .

Adjacent $= - 6$

Étape 5

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (2 A)$ .

$\cos (2 A) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (2 A) = \frac{- 6}{11}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (2 A) = - \frac{6}{11}$

Étape 6

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 6.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (2 A)$ .

$\tan (2 A) = \frac{opp}{adj}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (2 A) = \frac{\sqrt{85}}{- 6}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (2 A) = - \frac{\sqrt{85}}{6}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (2 A)$ .

$\cot (2 A) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (2 A) = \frac{- 6}{\sqrt{85}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\cot (2 A)$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (2 A) = - \frac{6}{\sqrt{85}}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{85}}$ par $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cot (2 A) = - (\frac{6}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}})$

Étape 7.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{85}}$ par $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Étape 7.3.3.2

Élevez $\sqrt{85}$ à la puissance $1$ .

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Étape 7.3.3.3

Élevez $\sqrt{85}$ à la puissance $1$ .

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Étape 7.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}$

Étape 7.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{85}}^{2}$ comme $85$ .

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Étape 7.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{85}$ comme $85^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

Étape 7.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (2 A)$ .

$\sec (2 A) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (2 A) = \frac{11}{- 6}$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (2 A) = - \frac{11}{6}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (2 A)$ .

$\csc (2 A) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (2 A) = \frac{11}{\sqrt{85}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\csc (2 A)$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{11}{\sqrt{85}}$ par $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\csc (2 A) = \frac{11}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$

Étape 9.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{11}{\sqrt{85}}$ par $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Étape 9.3.2.2

Élevez $\sqrt{85}$ à la puissance $1$ .

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Étape 9.3.2.3

Élevez $\sqrt{85}$ à la puissance $1$ .

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Étape 9.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}$

Étape 9.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{85}}^{2}$ comme $85$ .

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Étape 9.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{85}$ comme $85^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{85}$

Étape 9.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{85}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (2 A) = \frac{\sqrt{85}}{11}$

$\cos (2 A) = - \frac{6}{11}$

$\tan (2 A) = - \frac{\sqrt{85}}{6}$

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

$\sec (2 A) = - \frac{11}{6}$

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{85}$