Trigonométrie Exemples

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{1 - (1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + (- 1 \cdot 1 - - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

$\frac{1 + (- 1 + \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - 1 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

$\frac{1 - \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 9

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 10

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 10.1

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\cos^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 10.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 11

Écrivez $\cos^{2} (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 12

Additionnez des fractions.

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Étape 12.1

Pour écrire $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 12.2

Multipliez $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 13

Multipliez ${\cos (x)}^{2}$ par ${\cos (x)}^{2}$ en additionnant les exposants.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 14

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ est une identité