Trigonométrie Exemples

$\sec (θ) = - \sqrt{10}$ , $\cot (θ) > 0$

Étape 1

The cotangent function is positive in the first and third quadrants. The secant function is negative in the second and third quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

La solution se trouve dans le troisième quadrant.

Étape 2

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sec (θ) = \frac{hypoténuse}{adjacent}$

Étape 3

Déterminez le côté opposé du triangle du cercle unité. Le côté adjacent et l’hypoténuse étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Opposé = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {adjacent}^{2}}$

Étape 4

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Opposé = - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 5.1

Inversez $\sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ .

Opposé $= - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

Opposé $= - \sqrt{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Opposé $= - \sqrt{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Opposé $= - \sqrt{10^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

Opposé $= - \sqrt{10^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

Opposé $= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.2.5

Évaluez l’exposant.

Opposé $= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

Opposé $= - \sqrt{10 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Opposé $= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Étape 5.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

Opposé $= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{3}}$

Étape 5.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

Opposé $= - \sqrt{10 - 1}$

Étape 5.5

Soustrayez $1$ de $10$ .

Opposé $= - \sqrt{9}$

Étape 5.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

Opposé $= - \sqrt{3^{2}}$

Étape 5.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

Opposé $= - 1 \cdot 3$

Étape 5.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

Opposé $= - 3$

Étape 6

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (θ) = \frac{- 3}{\sqrt{10}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\sin (θ)$ .

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Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (θ) = - \frac{3}{\sqrt{10}}$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Étape 6.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 6.3.3.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 6.3.3.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 6.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 6.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 6.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Étape 6.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Étape 7

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 7.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{10}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\cos (θ)$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{10}}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Étape 7.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 7.3.3.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 7.3.3.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 7.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 7.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 7.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Étape 7.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 8.3

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$\tan (θ) = 3$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 9.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cot (θ) = \frac{1}{3}$

Étape 10

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 10.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 10.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{10}}{- 3}$

Étape 10.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3}$

Étape 11

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\tan (θ) = 3$

$\cot (θ) = \frac{1}{3}$

$\sec (θ) = - \sqrt{10}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3}$