Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = \frac{(\cos (x) + 1)}{\sin^{3} (x)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x))}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}$

Étape 3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))$ .

$\frac{1}{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)}$

Étape 4

Multipliez $\frac{1}{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)}$ par $\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)} \cdot \frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}$

Étape 5

Associez.

$\frac{1 (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))}{(\sin (x) - \sin (x) \cos (x)) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))}$

Étape 6

Multipliez $- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)$ par $1$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(\sin (x) - \sin (x) \cos (x)) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))}$

Étape 7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Développez $(\sin (x) - \sin (x) \cos (x)) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)) - \sin (x) \cos (x) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))}$

Étape 7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x) \cos (x)) - \sin (x) \cos (x) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))}$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x) \cos (x)) - \sin (x) \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))}$

Étape 7.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Étape 8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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Étape 8.1

Factorisez $- \sin^{2} (x)$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) (1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Étape 8.2

Factorisez $- \sin^{2} (x)$ à partir de $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) (1) - \sin^{2} (x) (- 1 \cos^{2} (x))}$

Étape 8.3

Factorisez $- \sin^{2} (x)$ à partir de $- \sin^{2} (x) (1) - \sin^{2} (x) (- 1 \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) (1 - 1 \cos^{2} (x))}$

Étape 8.4

Réécrivez $- 1 \cos^{2} (x)$ comme $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) (1 - \cos^{2} (x))}$

Étape 8.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Multipliez ${\sin (x)}^{2}$ par ${\sin (x)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1.1

Déplacez ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2})}$

Étape 9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- {\sin (x)}^{2 + 2}}$

Étape 9.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- {\sin (x)}^{4}}$

Étape 9.2

Factorisez $- \sin (x)$ à partir de $- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $- \sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) \cos (x)}{- {\sin (x)}^{4}}$

Étape 9.2.2

Factorisez $- \sin (x)$ à partir de $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))}{- {\sin (x)}^{4}}$

Étape 9.2.3

Factorisez $- \sin (x)$ à partir de $- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos (x))}{- {\sin (x)}^{4}}$

Étape 9.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{{\sin (x)}^{4}}$

Étape 9.4

Annulez les facteurs communs.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Étape 10

Réécrivez $\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$ comme $\frac{(\cos (x) + 1)}{\sin^{3} (x)}$ .

$\frac{(\cos (x) + 1)}{\sin^{3} (x)}$

Étape 11

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = \frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)}$ est une identité