Trigonométrie Exemples

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

${(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Étape 2.3

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \csc (t)})}^{2}$

Étape 2.4

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Pour écrire $\frac{1}{\cos (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Étape 2.5.1.2

Pour écrire $\frac{1}{\sin (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Étape 2.5.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (t) \sin (t)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.5.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (t)}$ par $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Étape 2.5.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sin (t)}$ par $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t) \cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Étape 2.5.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Étape 2.5.2

Multipliez $\frac{1}{\cos (t)}$ par $\frac{1}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t) \sin (t)}})}^{2}$

Étape 2.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

Étape 2.5.4

Annulez le facteur commun de $\cos (t) \sin (t)$ .

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Étape 2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$

Étape 2.5.5

Réécrivez ${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$ comme $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ .

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$

Étape 2.5.6

Développez $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (t) (\sin (t) + \cos (t)) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Étape 2.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Étape 2.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Étape 2.5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\sin^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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Étape 3.1

Déplacez $\cos^{2} (t)$ .

$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t)$

Étape 3.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 + 2 \cos (t) \sin (t)$

Étape 4

Réécrivez $1 + 2 \cos (t) \sin (t)$ comme $2 \sin (t) \cos (t) + 1$ .

$2 \sin (t) \cos (t) + 1$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$ est une identité