Trigonométrie Exemples

$(- 1, \sqrt{3})$

Étape 1

Pour déterminer le $\csc (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(- 1, \sqrt{3})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(- 1, 0)$ et $(- 1, \sqrt{3})$ .

Opposé : $\sqrt{3}$

Adjacent : $- 1$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{1 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{1 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{1 + 3^{1}}$

Étape 2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{1 + 3}$

Étape 2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1

Additionnez $1$ et $3$ .

$\sqrt{4}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Étape 2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2$

Étape 3

$\csc (θ) = \frac{Hypoténuse}{Opposé}$ donc $\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 4

Simplifiez $\csc (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 4.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \approx 1.15470053$