Trigonométrie Exemples

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1 = \tan^{2} (θ)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$(1 + \cot^{2} (θ)) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

Étape 3

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 3.1

Écrivez $\cot (θ)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$(1 + {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

Étape 3.2

Écrivez $\tan (θ)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$(1 + {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}) \cdot {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - 1$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$(1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}) \cdot {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - 1$

Étape 3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$(1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}) \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - 1$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} - 1$

Étape 4.1.2

Multipliez $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} - 1$

Étape 4.1.3

Associez.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}} - 1$

Étape 4.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.4.1

Annulez le facteur commun de ${\cos (θ)}^{2}$ .

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Étape 4.1.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}} - 1$

Étape 4.1.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun de ${\sin (θ)}^{2}$ .

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Étape 4.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1$

Étape 4.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 1 - 1$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 0$

Étape 4.3

Additionnez $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ et $0$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ comme $\tan^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1 = \tan^{2} (θ)$ est une identité