Trigonométrie Exemples

$\sin (θ) + \cos (θ) \cdot \cot (θ) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\cot (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Étape 1.1.2

Multipliez $\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Étape 1.1.2.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Étape 1.1.2.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Étape 1.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = 2$

Étape 1.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \cdot 2$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Étape 4

Multipliez $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Étape 4.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Étape 4.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\sin (θ)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = \sin (θ) \cdot 2$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 = \sin (θ) \cdot 2$

Étape 7

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (θ)$ .

$1 = 2 \sin (θ)$

Étape 8

Réécrivez l’équation comme $2 \sin (θ) = 1$ .

$2 \sin (θ) = 1$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $2 \sin (θ) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (θ) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $\sin (θ)$ par $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 10

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 11

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Étape 12

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Étape 13

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 13.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 13.2

Associez les fractions.

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Étape 13.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 13.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 13.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Étape 14

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 14.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 14.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 14.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 14.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 15

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$