Trigonométrie Exemples

$\cos (θ) + \sin (θ) \cdot \tan (θ) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (θ) + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Étape 1.1.2

Multipliez $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

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Étape 1.1.2.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Étape 1.1.2.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Étape 1.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)} = 2$

Étape 1.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (\cos (θ) + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)}) = \cos (θ) \cdot 2$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Étape 4

Multipliez $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Étape 4.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Étape 4.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot 2$

Étape 6

Réorganisez les termes.

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot 2$

Étape 7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 = \cos (θ) \cdot 2$

Étape 8

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (θ)$ .

$1 = 2 \cos (θ)$

Étape 9

Réécrivez l’équation comme $2 \cos (θ) = 1$ .

$2 \cos (θ) = 1$

Étape 10

Divisez chaque terme dans $2 \cos (θ) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (θ) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 10.2.1.2

Divisez $\cos (θ)$ par $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 11

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 12

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Étape 13

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 14

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 14.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 14.2

Associez les fractions.

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Étape 14.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 14.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 14.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 14.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Étape 15

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 15.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 15.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 15.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 15.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 16

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$