Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{1 + \sec (s)} + \frac{1}{1 - \sec (s)} = - 2 \cot^{2} (s)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1}{1 + \sec (s)} + \frac{1}{1 - \sec (s)}$

Étape 2

Additionnez des fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{1 + \sec (s)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \sec (s)}{1 - \sec (s)}$ .

$\frac{1}{1 + \sec (s)} \cdot \frac{1 - \sec (s)}{1 - \sec (s)} + \frac{1}{1 - \sec (s)}$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{1 - \sec (s)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sec (s)}{1 + \sec (s)}$ .

$\frac{1}{1 + \sec (s)} \cdot \frac{1 - \sec (s)}{1 - \sec (s)} + \frac{1}{1 - \sec (s)} \cdot \frac{1 + \sec (s)}{1 + \sec (s)}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{1 + \sec (s)}$ par $\frac{1 - \sec (s)}{1 - \sec (s)}$ .

$\frac{1 - \sec (s)}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))} + \frac{1}{1 - \sec (s)} \cdot \frac{1 + \sec (s)}{1 + \sec (s)}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{1 - \sec (s)}$ par $\frac{1 + \sec (s)}{1 + \sec (s)}$ .

$\frac{1 - \sec (s)}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))} + \frac{1 + \sec (s)}{(1 - \sec (s)) (1 + \sec (s))}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \sec (s)) (1 + \sec (s))$ .

$\frac{1 - \sec (s)}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))} + \frac{1 + \sec (s)}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sec (s) + 1 + \sec (s)}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 - \sec (s) + \sec (s)}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))}$

Étape 3.2

Additionnez $- \sec (s)$ et $\sec (s)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))}$

Étape 3.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Développez $(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{1 (1 - \sec (s)) + \sec (s) (1 - \sec (s))}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (s)) + \sec (s) (1 - \sec (s))}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (s)) + \sec (s) \cdot 1 + \sec (s) (- \sec (s))}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{2}{1 - \sec^{2} (s)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $- \sec^{2} (s)$ .

$\frac{2}{- \sec^{2} (s) + 1}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (s)$ .

$\frac{2}{- (\sec^{2} (s)) + 1}$

Étape 5.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2}{- \sec^{2} (s) - 1 \cdot - 1}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (s) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{2}{- (\sec^{2} (s) - 1)}$

Étape 5.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2}{- \tan^{2} (s)}$

Étape 6

Convertissez en sinus et cosinus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Écrivez $\tan (s)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{2}{- {(\frac{\sin (s)}{\cos (s)})}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (s)}{\cos (s)}$ .

$\frac{2}{- \frac{\sin^{2} (s)}{\cos^{2} (s)}}$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 (- \frac{{\cos (s)}^{2}}{{\sin (s)}^{2}})$

Étape 7.2

Multipliez $2 (- \frac{{\cos (s)}^{2}}{{\sin (s)}^{2}})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \frac{{\cos (s)}^{2}}{{\sin (s)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{{\cos (s)}^{2}}{{\sin (s)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 {\cos (s)}^{2}}{{\sin (s)}^{2}}$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cos^{2} (s)}{\sin^{2} (s)}$

Étape 8

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos^{2} (s)}{\sin^{2} (s)}$

Étape 9

Associez.

$\frac{- (2 \cos^{2} (s))}{1 \sin^{2} (s)}$

Étape 10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (s)}{1 \sin^{2} (s)}$

Étape 11

Multipliez ${\sin (s)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (s)}{\sin^{2} (s)}$

Étape 12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cos^{2} (s)}{\sin^{2} (s)}$

Étape 13

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$- 2 \cot^{2} (s)$

Étape 14

Convertissez en sinus et cosinus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Écrivez $\cot (s)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$- 2 {(\frac{\cos (s)}{\sin (s)})}^{2}$

Étape 14.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (s)}{\sin (s)}$ .

$- 2 \frac{\cos^{2} (s)}{\sin^{2} (s)}$

Étape 15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Associez $- 2$ et $\frac{{\cos (s)}^{2}}{{\sin (s)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 {\cos (s)}^{2}}{{\sin (s)}^{2}}$

Étape 15.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cos^{2} (s)}{\sin^{2} (s)}$

Étape 16

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{1 + \sec (s)} + \frac{1}{1 - \sec (s)} = - 2 \cot^{2} (s)$ est une identité