Trigonométrie Exemples

$2 \sin^{2} (θ) - \sin (θ) - 1 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (θ)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (θ)$ par $u$ .

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (θ)$ .

$(2 \sin (θ) + 1) (\sin (θ) - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

$\sin (θ) - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $2 \sin (θ) + 1$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 \sin (θ) + 1$ égal à $0$ .

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 \sin (θ) + 1 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (θ) = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (θ) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (θ) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (θ)$ par $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Étape 3.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- 30$ .

$θ = - 30$

Étape 3.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $360$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 360 + 30 + 180$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.2.6.1

Soustrayez $360 °$ de $360 + 30 + 180 °$ .

$θ = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Étape 3.2.6.2

L’angle résultant de $210 °$ est positif, inférieur à $360 °$ et coterminal avec $360 + 30 + 180$ .

$θ = 210 °$

Étape 3.2.7

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 3.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 3.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 3.2.7.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 3.2.8

Ajoutez $360$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.2.8.1

Ajoutez $360$ à $- 30$ pour déterminer l’angle positif.

$- 30 + 360$

Étape 3.2.8.2

Soustrayez $30$ de $360$ .

$330$

Étape 3.2.8.3

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = 330$

Étape 3.2.9

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\sin (θ) - 1$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sin (θ) - 1$ égal à $0$ .

$\sin (θ) - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin (θ) - 1 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (θ) = 1$

Étape 4.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $90$ .

$θ = 90$

Étape 4.2.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = 180 - 90$

Étape 4.2.5

Soustrayez $90$ de $180$ .

$θ = 90$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 4.2.7

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 90 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 \sin (θ) + 1) (\sin (θ) - 1) = 0$ vraie.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n, 90 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez les réponses.

$θ = 90 + 120 n$ , pour tout entier $n$