Trigonométrie Exemples

$\cos (θ) = \frac{1}{3}$ , $\sin (θ) < 0$

Étape 1

The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The cosine function is positive in the first and fourth quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the fourth quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

La solution se trouve dans le quatrième quadrant.

Étape 2

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\cos (θ) = \frac{adjacent}{hypoténuse}$

Étape 3

Déterminez le côté opposé du triangle du cercle unité. Le côté adjacent et l’hypoténuse étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Opposé = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {adjacent}^{2}}$

Étape 4

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Opposé = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 5.1

Inversez $\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$ .

Opposé $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 5.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

Opposé $= - \sqrt{9 - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

Opposé $= - \sqrt{9 - 1 \cdot 1}$

Étape 5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

Opposé $= - \sqrt{9 - 1}$

Étape 5.5

Soustrayez $1$ de $9$ .

Opposé $= - \sqrt{8}$

Étape 5.6

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

Opposé $= - \sqrt{4 (2)}$

Étape 5.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

Opposé $= - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 5.7

Extrayez les termes de sous le radical.

Opposé $= - (2 \sqrt{2})$

Étape 5.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

Opposé $= - 2 \sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{1}$

Étape 7.3

Divisez $- 2 \sqrt{2}$ par $1$ .

$\tan (θ) = - 2 \sqrt{2}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{1}{- 2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez la valeur de $\cot (θ)$ .

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Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (θ) = - \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = - (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 8.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 8.3.3.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 8.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 8.3.3.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 8.3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 8.3.3.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.3.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{3}{1}$

Étape 9.3

Divisez $3$ par $1$ .

$\sec (θ) = 3$

Étape 10

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 10.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 10.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{3}{- 2 \sqrt{2}}$

Étape 10.3

Simplifiez la valeur de $\csc (θ)$ .

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Étape 10.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = - \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

Étape 10.3.2

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 10.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.3.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 10.3.3.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 10.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 10.3.3.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 10.3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 10.3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 10.3.3.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 10.3.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.3.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.3.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.3.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.3.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 10.3.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 10.3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

Étape 11

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\cos (θ) = \frac{1}{3}$

$\tan (θ) = - 2 \sqrt{2}$

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sec (θ) = 3$

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$