Trigonométrie Exemples

$3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 \tan^{2} (x) = 1$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $3 \tan^{2} (x) = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $3 \tan^{2} (x) = 1$ par $3$ .

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\tan^{2} (x)$ par $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\tan (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 4.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 7.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ est $30$ .

$x = 30$

Étape 7.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 180 + 30$

Étape 7.4

Additionnez $180$ et $30$ .

$x = 210$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 7.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$x = 30 + 180 n, 210 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 8.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ est $- 30$ .

$x = - 30$

Étape 8.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - 30 - 180$

Étape 8.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.4.1

Ajoutez $360 °$ à $- 30 - 180 °$ .

$x = - 30 - 180 ° + 360 °$

Étape 8.4.2

L’angle résultant de $150 °$ est positif et coterminal avec $- 30 - 180$ .

$x = 150 °$

Étape 8.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 8.5.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 8.6

Ajoutez $180$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.6.1

Ajoutez $180$ à $- 30$ pour déterminer l’angle positif.

$- 30 + 180$

Étape 8.6.2

Soustrayez $30$ de $180$ .

$150$

Étape 8.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 150$

Étape 8.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$x = 150 + 180 n, 150 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Indiquez toutes les solutions.

$x = 30 + 180 n, 210 + 180 n, 150 + 180 n, 150 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les solutions.

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Étape 10.1

Consolidez $30 + 180 n$ et $210 + 180 n$ en $30 + 180 n$ .

$x = 30 + 180 n, 150 + 180 n, 150 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.2

Consolidez $150 + 180 n$ et $150 + 180 n$ en $150 + 180 n$ .

$x = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , pour tout entier $n$