Trigonométrie Exemples

$(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3 \sqrt{10}}{10})$

Étape 1

Pour déterminer le $\cos (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3 \sqrt{10}}{10})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{10}}{10}, 0)$ et $(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3 \sqrt{10}}{10})$ .

Opposé : $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Adjacent : $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{10^{1}}{10^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{10}{10^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{10}{100} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $10$ et $100$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$\sqrt{\frac{10 (1)}{100} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $10$ à partir de $100$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{{(3 \sqrt{10})}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{10}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 2.6.2

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 2.6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 2.6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Étape 2.6.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 2.6.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 2.6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{1}}{10^{2}}}$

Étape 2.6.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10}{10^{2}}}$

Étape 2.7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.7.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10}{100}}$

Étape 2.7.2

Multipliez $9$ par $10$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{90}{100}}$

Étape 2.7.3

Annulez le facteur commun à $90$ et $100$ .

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Étape 2.7.3.1

Factorisez $10$ à partir de $90$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 (9)}{100}}$

Étape 2.7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.3.2.1

Factorisez $10$ à partir de $100$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10}}$

Étape 2.7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10}}$

Étape 2.7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9}{10}}$

Étape 2.7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1 + 9}{10}}$

Étape 2.7.4.2

Additionnez $1$ et $9$ .

$\sqrt{\frac{10}{10}}$

Étape 2.7.4.3

Divisez $10$ par $10$ .

$\sqrt{1}$

Étape 2.7.4.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$

Étape 3

$\cos (θ) = \frac{Adjacent}{Hypoténuse}$ donc $\cos (θ) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{1}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{1}$

Étape 4

Divisez $\frac{\sqrt{10}}{10}$ par $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10} \approx 0.31622776$