Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{θ}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{θ}{2} = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $135$ .

$\frac{θ}{2} = 135$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 \cdot 135$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{θ}{2} = 2 \cdot 135$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$θ = 2 \cdot 135$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $135$ .

$θ = 270$

Étape 5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{θ}{2} = 360 - 135$

Étape 6

Résolvez $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (360 - 135)$

Étape 6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (360 - 135)$

Étape 6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$θ = 2 (360 - 135)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez $2 (360 - 135)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Soustrayez $135$ de $360$ .

$θ = 2 \cdot 225$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $225$ .

$θ = 450$

Étape 7

Déterminez la période de $\cos (\frac{θ}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 7.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{360}{\frac{1}{2}}$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$360 \cdot 2$

Étape 7.5

Multipliez $360$ par $2$ .

$720$

Étape 8

La période de la fonction $\cos (\frac{θ}{2})$ est $720$ si bien que les valeurs se répètent tous les $720$ degrés dans les deux sens.

$θ = 270 + 720 n, 450 + 720 n$ , pour tout entier $n$